Daudzi studenti, kuri padziļinātajos kursos studē padziļinātu matemātiku, droši vien domāja: kur praksē tiek izmantoti diferenciālvienādojumi (DE)? Parasti šis jautājums netiek apspriests lekcijās, un skolotāji nekavējoties pāriet pie vadības teorijas risinājuma, nepaskaidrojot studentiem diferenciālvienādojumu izmantošanu reālajā dzīvē. Mēs centīsimies aizpildīt šo plaisu.
Sākumā definējam diferenciālvienādojumu. Tātad diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas atvasinātās funkcijas vērtību saista ar pašu funkciju, neatkarīga mainīgā vērtībām un dažiem skaitļiem (parametriem).
Visizplatītākais apgabals, kurā tiek piemēroti diferenciālvienādojumi, ir dabas parādību matemātiskais apraksts. Tos izmanto arī tādu problēmu risināšanā, kurās nav iespējams izveidot tiešu saikni starp dažām procesu raksturojošām vērtībām. Šādi uzdevumi rodas bioloģijā, fizikā un ekonomikā.
Bioloģijā:
Pirmais būtiskais matemātiskais modelis, kas aprakstīja bioloģiskās kopienas, bija Lotka-Volterra modelis. Tas raksturo divu mijiedarbīgu sugu populāciju. Pirmais no viņiem, saukts par plēsējiem, mirst saskaņā ar likumu x '= –ax (a> 0) , ja nav otrā, un otrais, upuri, ja nav plēsoņu, vairojas neierobežoti saskaņā ar Malthus likumu. Šo divu sugu mijiedarbība tiek modelēta šādi. Upuru mirst ar ātrumu, kas vienāds ar plēsoņu un upuru sastapšanos, kas šajā modelī tiek uzskatīts par proporcionālu abu populāciju skaitam, t.i., vienāds ar dxy (d> 0). Tāpēc y '= by-dxy. Plēsoņas vairojas ar ātrumu, kas proporcionāls apēstā laupījuma skaitam: x '= –ax + cxy (c> 0). Vienādojumu sistēma
x '= –ax + cxy, (1)
y '= līdz - dxy, (2)
aprakstot šādu populāciju, plēsējs ir laupījums un tiek saukts par Trays - Volterra sistēmu (vai modeli).
Fizikā:
Ņūtona otro likumu var uzrakstīt diferenciālvienādojuma veidā
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kur m ir ķermeņa masa, x ir tā koordināta, F (x, t) ir spēks, kas uz ķermeni iedarbojas ar koordinātu x laikā t. Viņa risinājums ir ķermeņa trajektorija norādītā spēka iedarbībā.
